Proyectiles con ángulo

Pregunta esencial

¿Qué tan lejos y qué tan alto llega un objeto lanzado?

Un despeje de futbol americano, un tiro en salto de básquetbol y un golpe de golf salen del suelo con un ángulo, suben y vuelven a bajar. Al terminar esta lección, deberías poder separar una velocidad de lanzamiento en componentes y calcular el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance de un proyectil.

Cómo lanzar con un ángulo

• Separa v_i en componentes
• v_x = v_i cos θ
• v_iy = v_i sin θ

Cuando se lanza un objeto con un ángulo θ sobre la horizontal y con rapidez v_i, el primer paso siempre es separar la velocidad de lanzamiento en componentes, igual que en la lección de Componentes de vectores. La componente horizontal es v_x = v_i cos θ, y la componente vertical inicial es v_iy = v_i sin θ. A partir de ahí, tratamos por separado los movimientos horizontal y vertical.

La velocidad a lo largo de la trayectoria

• v_x nunca cambia
• v_y se reduce al subir
• v_y crece al bajar

Esta es la velocidad de un proyectil con ángulo en intervalos de tiempo iguales. Las flechas azules horizontales nunca cambian, porque no actúa ninguna fuerza horizontal. Las flechas rojas verticales apuntan hacia arriba y se acortan al subir, porque la gravedad le quita 9.8 m/s de velocidad hacia arriba cada segundo. En lo más alto la velocidad vertical es cero, y al bajar las flechas rojas apuntan hacia abajo y se alargan. El movimiento vertical es exactamente el de la pelota lanzada hacia arriba de la lección de Caída libre.

En lo más alto

• v_y = 0
• v_x NO es cero
• a sigue siendo 9.8 m/s² hacia abajo

En el punto más alto, el proyectil deja de subir por un instante, así que v_y = 0. Pero a diferencia de una pelota lanzada directo hacia arriba, sigue en movimiento: su velocidad horizontal v_x no ha cambiado. Así que en lo más alto la rapidez no es cero, es justo v_x. Y la aceleración sigue siendo de 9.8 m/s² hacia abajo, porque la gravedad nunca se apaga. El hecho de que v_y = 0 en lo más alto es la clave para calcular tanto el tiempo de vuelo como la altura máxima.

La trayectoria es simétrica

• Tiempo de subida = tiempo de bajada
• Misma altura, misma rapidez
• En terreno plano: aterriza con la rapidez de lanzamiento

En terreno plano, la trayectoria de un proyectil es perfectamente simétrica respecto a su punto más alto. Tarda lo mismo en subir que en bajar. A cualquier altura, el proyectil tiene la misma rapidez al bajar que la que tenía al subir, solo que inclinada hacia abajo en lugar de hacia arriba. Por eso aterriza con la misma rapidez con que se lanzó. Esta simetría es un gran atajo: calcula el tiempo en llegar a lo más alto y duplícalo para obtener el tiempo total.

Tiempo de vuelo

• Usa solo el movimiento vertical
• Tiempo hasta la cima: v_y llega a 0
• Tiempo total = 2 × tiempo hasta la cima

El tiempo de vuelo se obtiene solo del movimiento vertical. La velocidad vertical empieza en +v_iy y baja 9.8 m/s cada segundo hasta llegar a 0 en lo más alto. Con v_fy = v_iy + at y v_fy = 0 se obtiene el tiempo hasta la cima: t_up = v_iy / 9.8 m/s². En terreno plano el viaje de bajada tarda lo mismo, así que el tiempo total en el aire es 2 × t_up.

Altura máxima

• Usa solo el movimiento vertical
• En la cima, v_fy = 0
• v_fy² = v_iy² + 2aΔy

La altura máxima también se obtiene del movimiento vertical. Detén el problema en la cima, donde la velocidad vertical final es cero. Luego usa v_fy² = v_iy² + 2aΔy con v_fy = 0 y a = −9.8 m/s², y despeja Δy. También puedes calcular primero el tiempo hasta la cima y usar Δy = v_iyt + ½at². De cualquier forma, solo importa la componente vertical v_iy, no la rapidez de lanzamiento completa.

Alcance

• Alcance = distancia horizontal
• Δx = v_x × t_total
• 45° da el mayor alcance

El alcance es la distancia horizontal que recorre un proyectil antes de aterrizar. Como la velocidad horizontal es constante, alcance = v_x × t_total. Un lanzamiento muy inclinado pasa mucho tiempo en el aire pero avanza despacio, y uno poco inclinado avanza rápido pero aterriza pronto. En terreno plano y sin resistencia del aire, 45° es el mejor equilibrio y da el alcance máximo. Los ángulos que suman 90°, como 30° y 60°, dan el mismo alcance.

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Ejemplos resueltos

Primero intenta resolver cada problema por tu cuenta y luego abre la solución para revisar tu trabajo.

Ejemplo 1: Componentes del lanzamiento

Un balón de futbol se patea a 19.6 m/s a 30.0° sobre el suelo. Calcula su velocidad horizontal y su velocidad vertical inicial.

Mostrar la solución

1. Datos: v_i = 19.6 m/s, θ = 30.0°
2. Horizontal: v_x = v_i cos θ = (19.6 m/s)(cos 30.0°) = (19.6 m/s)(0.866)
3. Vertical: v_iy = v_i sin θ = (19.6 m/s)(sin 30.0°) = (19.6 m/s)(0.500)
4. Respuesta: v_x = 17.0 m/s y v_iy = 9.80 m/s (hacia arriba)

Estos dos números son todo lo que necesitas para cualquier otra pregunta sobre esta patada: v_x se mantiene en 17.0 m/s durante todo el vuelo, y v_iy = 9.80 m/s inicia el movimiento de caída libre.

Ejemplo 2: Tiempo de vuelo

Un balón de futbol americano se patea desde el suelo a 25.0 m/s a 36.9° sobre la horizontal. ¿Cuánto tiempo está en el aire antes de caer al campo?

Mostrar la solución

1. Componente vertical: v_iy = v_i sin θ = (25.0 m/s)(sin 36.9°) = 15.0 m/s
2. Tiempo hasta la cima: En la cima v_fy = 0. De v_fy = v_iy + at: t_up = (0 − 15.0 m/s) / (−9.8 m/s²) = 1.53 s
3. Tiempo total: La trayectoria es simétrica, así que t_total = 2 × 1.53 s
4. Respuesta: t = 3.06 s

Ejemplo 3: Altura máxima

Un globo de agua se lanza a 14.0 m/s a 60.0° sobre la horizontal. ¿Cuál es su altura máxima sobre el punto de lanzamiento?

Mostrar la solución

1. Componente vertical: v_iy = (14.0 m/s)(sin 60.0°) = 12.1 m/s
2. Datos (hasta la cima): v_iy = 12.1 m/s, v_fy = 0, a = −9.8 m/s², Δy = ?
3. Ecuación: v_fy² = v_iy² + 2aΔy, así que Δy = (v_fy² − v_iy²) / 2a
4. Sustituye: Δy = (0 − (12.1 m/s)²) / 2(−9.8 m/s²) = (−147 m²/s²) / (−19.6 m/s²)
5. Respuesta: H = 7.50 m sobre el punto de lanzamiento

Conserva en tu calculadora el valor sin redondear de v_iy (12.124…). Al elevarlo al cuadrado da exactamente 147.

Ejemplo 4: Alcance

Una pelota de golf se golpea a 30.0 m/s a 45.0° sobre un terreno plano. ¿A qué distancia cae?

Mostrar la solución

1. Componentes: v_x = (30.0 m/s)(cos 45.0°) = 21.2 m/s y v_iy = (30.0 m/s)(sin 45.0°) = 21.2 m/s
2. Tiempo hasta la cima: t_up = (0 − 21.2 m/s) / (−9.8 m/s²) = 2.16 s
3. Tiempo total: t_total = 2 × 2.16 s = 4.33 s
4. Alcance: Δx = v_x × t_total = (21.2 m/s)(4.33 s)
5. Respuesta: Δx = 91.8 m

Conserva en tu calculadora los valores sin redondear entre un paso y otro; redondear antes de tiempo puede cambiar el último dígito.

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Práctica

Separa una velocidad de lanzamiento en componentes, describe el movimiento en la cima de la trayectoria y calcula el tiempo de vuelo, la altura máxima y el alcance. Primero inténtalo por tu cuenta y luego revisa tu trabajo con la clave de respuestas. Los PDF están en inglés.

• Hoja de práctica de Proyectiles con ángulo (PDF) (en inglés)
• Clave de respuestas de la hoja de práctica de Proyectiles con ángulo (PDF) (en inglés)

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Diapositivas de la lección

• Diapositivas 3.4 Proyectiles con ángulo (PDF) (en inglés)

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Ideas clave

• Separa v_i: v_x = v_i cos θ, v_iy = v_i sin θ
• En lo más alto: v_y = 0, pero v_x permanece
• Tiempo de vuelo y altura: solo el movimiento vertical
• Alcance = v_x × tiempo total

De vuelta a la pregunta esencial: separamos la velocidad de lanzamiento en componentes. La parte vertical, v_i sin θ, es caída libre: determina el tiempo de vuelo y la altura máxima, donde v_y = 0. La parte horizontal, v_i cos θ, se mantiene constante, así que alcance = v_x × tiempo de vuelo. A continuación estudiaremos los objetos que se mueven en círculos con el movimiento circular uniforme.

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