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Exponentes y logaritmos

En esta lección

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Pregunta esencial

¿Cómo nos ayudan los exponentes y los logaritmos a manejar las potencias de diez?

Las potencias de diez aparecen en todas partes de la ciencia, y unas cuantas reglas sencillas de exponentes te permiten combinarlas rápidamente. Los logaritmos hacen esos mismos exponentes al revés. Al terminar esta lección, deberías poder multiplicar y dividir potencias de diez y usar logaritmos para hallar el pH y convertirlo de nuevo en una concentración.

El video de la lección estará disponible próximamente. Mientras tanto, lee la lección que aparece abajo.

Multiplicar: suma los exponentes

  • La misma base de 10
  • Cuenta todos los dieces juntos
  • 3 dieces y 4 dieces son 7 dieces
10 a la tercera por 10 a la cuarta escrito como tres dieces por cuatro dieces. Son siete dieces en total, así que la respuesta es 10 a la 3 más 4, que es 10 a la séptima.

Un exponente cuenta cuántas veces se multiplica la base por sí misma, así que 103 significa 10 × 10 × 10. Cuando multiplicas dos potencias de diez, simplemente juntas todos los dieces, así que sumas los exponentes. Por ejemplo, 103 × 104 = 103+4 = 107. Ten cuidado de no multiplicar los exponentes: la respuesta es 107, no 1012.

Dividir: resta los exponentes

  • Resta: el de arriba menos el de abajo
  • Los dieces iguales se cancelan
  • 6 dieces entre 2 dieces dejan 4
Una fracción con seis dieces arriba y dos dieces abajo. Dos dieces de arriba y los dos dieces de abajo están tachados, y quedan cuatro dieces, así que 10 a la 6 menos 2 es igual a 10 a la cuarta.

Cuando divides potencias de diez, cada 10 de abajo cancela un 10 de arriba. Eso significa que restas los exponentes, el de arriba menos el de abajo. Por ejemplo, 106 ÷ 102 = 106−2 = 104. Si el exponente de abajo es mayor, la respuesta tiene un exponente negativo, como 102 ÷ 105 = 10−3.

Potencia de una potencia: multiplica

  • Exponente fuera del paréntesis
  • Multiplica los dos exponentes
  • Al cuadrado significa dos copias
Una cadena de pasos. 10 a la tercera, al cuadrado, significa 2 copias de 10 a la tercera multiplicadas. Multiplicar significa sumar, así que 10 a la 3 más 3, que es lo mismo que 3 por 2, da 10 a la sexta.

Cuando una potencia de diez se eleva a otra potencia, el exponente de afuera te dice cuántas copias de lo de adentro debes multiplicar. Sumar el mismo exponente esa cantidad de veces es lo mismo que multiplicar, así que multiplicas los exponentes. Por ejemplo, (103)2 = 103 × 103 = 106. Esto es útil cuando elevas una longitud al cuadrado para hallar un área, como (10−2 m)2 = 10−4 m2.

Exponentes cero y negativos

  • Cada paso hacia abajo: divide entre 10
  • El exponente cero siempre da 1
  • Exponente negativo: menos que 1
Una columna de potencias de diez desde 10 a la tercera igual a 1000 hasta 10 a la menos 2 igual a 0.01. Cada paso hacia abajo está rotulado divide entre 10. La fila 10 a la 0 igual a 1 está resaltada en amarillo.

Cada vez que un exponente baja 1, el valor se divide entre 10. Siguiendo ese patrón hacia abajo desde 101 = 10 se obtiene 100 = 1. Si seguimos más abajo, aparecen los exponentes negativos: 10−1 = 0.1 y 10−2 = 0.01. Un exponente negativo no vuelve negativo al número. Significa un número entre 0 y 1.

Un logaritmo es un exponente

  • log pregunta: ¿10 elevado a qué potencia?
  • Para una potencia de diez, log = exponente
Una recta numérica con los números 0.001, 0.01, 0.1, 1, 10, 100 y 1000 arriba. Debajo de cada uno está su logaritmo: menos 3, menos 2, menos 1, 0, 1, 2 y 3.

Un logaritmo (log) pregunta: ¿10 elevado a qué potencia da este número? Así, log(1000) = 3 porque 103 = 1000, y log(0.01) = −2 porque 10−2 = 0.01. Para cualquier potencia de diez, el log es simplemente el exponente. Los números entre 0 y 1 tienen logaritmos negativos, y la tecla LOG de la calculadora halla el log de cualquier número positivo.

El pH y cómo regresar

  • pH: el −log de la concentración de iones de hidrógeno
  • Concentración baja, pH más alto
  • La tecla 2nd LOG deshace el log
Dos tarjetas unidas por flechas. Una tarjeta que dice concentración de H más igual a 10 a la menos 3 molar tiene una flecha rotulada menos log, hallar el pH, que apunta a una tarjeta que dice pH igual a 3. Una flecha rotulada 10 a la menos pH, regresar, va de la tarjeta del pH de vuelta a la tarjeta de la concentración.

El pH de una solución se define como pH = −log[H+], donde [H+] es la concentración de iones de hidrógeno en moles por litro (M). Si [H+] = 10−3 M, el log es −3, así que el pH es 3. Para regresar, deshaz el log con la tecla 10x: [H+] = 10−pH. En la mayoría de las calculadoras, 10x es la segunda función de la tecla LOG.

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Ejemplos resueltos

Intenta resolver cada problema por tu cuenta primero y luego abre la solución para comprobar tu trabajo.

Ejemplo 1: La luz del Sol que llega a la Tierra

La luz viaja a 3.0 × 108 m/s y tarda unos 5.0 × 102 s en llegar del Sol a la Tierra. ¿Qué distancia recorre? (distancia = rapidez × tiempo)

Un Sol amarillo con una flecha que apunta a una pequeña Tierra azul. La flecha está rotulada 3.0 por 10 a la 8 metros por segundo, y tiempo igual a 5.0 por 10 a la 2 segundos. Abajo dice distancia igual a signo de interrogación.
Mostrar la solución
  1. Plantea: d = (3.0 × 108 m/s)(5.0 × 102 s)
  2. Multiplica los coeficientes: 3.0 × 5.0 = 15
  3. Suma los exponentes: 108 × 102 = 1010
  4. Unidades: m/s × s = m
  5. Ajusta el coeficiente: 15 × 1010 m = 1.5 × 1011 m
  6. Respuesta: 1.5 × 1011 m

Ejemplo 2: El pH del jugo de naranja

Una muestra de jugo de naranja tiene [H+] = 3.2 × 10−4 M. ¿Cuál es su pH?

Un vaso de jugo de naranja junto a una tarjeta que dice concentración de H más igual a 3.2 por 10 a la menos 4 molar, pH igual a signo de interrogación.
Mostrar la solución
  1. Fórmula: pH = −log[H+]
  2. Sustituye: pH = −log(3.2 × 10−4)
  3. Calcula: log(3.2 × 10−4) = −3.49485…, así que pH = 3.49485…
  4. Redondea: 3.2 tiene 2 cifras significativas, así que conserva 2 lugares decimales
  5. Comprueba: [H+] está entre 10−4 y 10−3, así que el pH está entre 3 y 4
  6. Respuesta: pH = 3.49

Ejemplo 3: Lluvia ácida

Una muestra de lluvia ácida tiene un pH de 4.30. ¿Cuál es su [H+]?

Una nube de lluvia gris con gotas azules junto a una tarjeta que dice pH igual a 4.30, concentración de H más igual a signo de interrogación. Abajo hay teclas de calculadora 2nd más LOG, con 10 a la x sobre la tecla LOG, rotuladas deshacer el log.
Mostrar la solución
  1. Fórmula: [H+] = 10−pH
  2. Sustituye: [H+] = 10−4.30
  3. Calcula: 2nd, LOG (10x), −4.30 da 5.0118… × 10−5
  4. Redondea: 4.30 tiene 2 lugares decimales, así que conserva 2 cifras significativas
  5. Comprueba: un pH entre 4 y 5 da [H+] entre 10−5 y 10−4 M
  6. Respuesta: [H+] = 5.0 × 10−5 M

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Comprueba lo que aprendiste

Problemas de práctica

Elige una respuesta. Si no es correcta, lee la pista e inténtalo de nuevo. Puedes omitir cualquier pregunta.

Pregunta 1 de 5

Sin calculadora, ¿cuánto es 105 × 103?

A1015

No exactamente. Parece que se multiplicaron los exponentes. Cuando multiplicas potencias de diez, juntas todos los dieces, así que mejor cuéntalos.

B108

¡Correcto! Al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes: 5 + 3 = 8.

C102

No exactamente. Restar exponentes es la regla para dividir. Este problema multiplica, así que piensa cuántos dieces hay en total.

D1008

No exactamente. La base sigue siendo 10. Solo se combinan los exponentes, así que no multipliques los 10 para formar 100.

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Pregunta 2 de 5

¿Cuánto es log(0.001)?

A3

No exactamente. Casi, pero los números entre 0 y 1 tienen logaritmos negativos. Piensa en el signo del exponente que convierte 10 en 0.001.

B−2

No exactamente. Contar los ceros después del punto decimal se queda corto por un lugar. Pregúntate: ¿10 elevado a qué potencia da 0.001?

C10−3

No exactamente. Eso es solo 0.001 reescrito como potencia de diez. Un log da el exponente mismo, no la potencia de diez.

D−3

¡Correcto! Como 10−3 = 0.001, el log es el exponente, −3.

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Pregunta 3 de 5

Sin calculadora, ¿cuánto es (8.4 × 106) ÷ (2.0 × 10−2)?

A4.2 × 108

¡Correcto! Divide los coeficientes (8.4 ÷ 2.0 = 4.2) y resta los exponentes: 6 − (−2) = 8.

B4.2 × 104

No exactamente. El coeficiente es correcto, pero cuidado con los signos: restar un exponente negativo, 6 − (−2), hace más grande el exponente.

C1.7 × 105

No exactamente. Esto sale de multiplicar los dos números. El problema divide, así que divide los coeficientes y resta los exponentes.

D4.2 × 10−3

No exactamente. Parece que se dividió 6 entre −2. Para dividir, resta los exponentes (el de arriba menos el de abajo) en lugar de dividirlos.

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Pregunta 4 de 5

Una solución tiene [H+] = 6.3 × 10−5 M. ¿Cuál es su pH?

A−4.20

No exactamente. Esto es solo el log de la concentración. La fórmula tiene un signo negativo antes del log, que cambia el signo.

B4.2

No exactamente. El valor es correcto, pero revisa el redondeo. Las cifras significativas de la concentración te dicen cuántos lugares decimales conservar en el pH.

C4.20

¡Correcto! pH = −log(6.3 × 10−5) = 4.2007, y 6.3 tiene 2 cifras significativas, así que conserva 2 lugares decimales.

D−0.80

No exactamente. Esto es solo −log(6.3). Ingresa la concentración completa, incluido × 10−5, con la tecla EE o ×10x.

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Pregunta 5 de 5

Una muestra de vinagre tiene un pH de 2.70. ¿Cuál es su concentración de iones de hidrógeno, [H+]?

A5.0 × 102 M

No exactamente. Se omitió el signo negativo. Para regresar se usa 10 elevado al pH negativo, lo que da una concentración pequeña.

B2.0 × 10−3 M

¡Correcto! [H+] = 10−2.70 = 1.995 × 10−3, y 2 lugares decimales en 2.70 significan 2 cifras significativas.

C0.43 M

No exactamente. Esto es log(2.70), que usa la tecla LOG. Para deshacer un log, usa 10x (2nd, LOG) con el pH negativo.

D1.995 × 10−3 M

No exactamente. El cálculo es correcto, pero hay demasiadas cifras significativas. Los lugares decimales del pH te dicen cuántas cifras significativas conservar.

Terminar
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¡Buen trabajo! Llegaste al final de los problemas de práctica.

Recarga la página para intentarlos de nuevo, incluidas las preguntas que omitiste.

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Diapositivas de la lección

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Ideas clave

  • Multiplicar: suma los exponentes
  • Dividir: resta los exponentes
  • Potencia de una potencia: multiplica los exponentes
  • Un log es el exponente de 10

De vuelta a la pregunta esencial: las reglas de los exponentes te permiten multiplicar, dividir y elevar potencias de diez sumando, restando o multiplicando los exponentes. Un log extrae el exponente de 10, que es como los químicos convierten una concentración diminuta como 10−3 M en un pH sencillo de 3, y 10x lo devuelve a su forma original.

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