Vectores

Pregunta esencial

¿Cómo combinamos cantidades que tienen una dirección?

Muchas cantidades de la física, como la fuerza, la velocidad y el desplazamiento, tienen una dirección además de un tamaño, y la dirección cambia la forma en que se suman. Al terminar esta lección, deberías poder sumar vectores de punta a cola y descomponer un vector en componentes horizontal y vertical.

¿Vector o escalar?

• Escalar: solo tamaño
• Vector: tamaño y dirección
• La fuerza, la velocidad y el desplazamiento son vectores

Un escalar tiene solo tamaño, como una masa de 5.0 kg o una temperatura de 25 °C. Un vector tiene un tamaño, llamado magnitud, y una dirección, como un desplazamiento de 5.0 m al este o una fuerza de 10 N hacia abajo. La rapidez es un escalar, pero la velocidad, que incluye la dirección, es un vector. La fuerza, la velocidad y el desplazamiento son los vectores que más usarás en física.

Cómo dibujar vectores como flechas

• La longitud de la flecha muestra el tamaño
• La flecha apunta en la dirección
• Usa una escala, como 1 cuadro = 10 N

Un vector se dibuja como una flecha. La flecha apunta en la dirección del vector y su longitud muestra la magnitud según una escala. Con una escala de 1 cuadro = 10 N, una fuerza de 40 N al este es una flecha de 4 cuadros de largo que apunta a la derecha, y una fuerza de 20 N al norte mide 2 cuadros y apunta hacia arriba. El inicio de la flecha es la cola y el extremo en punta es la punta.

Suma de vectores de punta a cola

• Pon la cola de B en la punta de A
• Resultante: del inicio de A al final de B
• El orden no importa

Para sumar vectores, colócalos de punta a cola: dibuja el primer vector y luego mueve el segundo, sin cambiar su longitud ni su dirección, para que su cola empiece en la punta del primero. La resultante, R, es la flecha que va de la cola del primer vector a la punta del último. Muestra el efecto total, como el lugar donde terminas después de dos movimientos. Si sumas los vectores en otro orden, obtienes la misma resultante.

Direcciones iguales u opuestas

• Misma dirección: suma los tamaños
• Direcciones opuestas: resta y conserva la dirección del mayor

Cuando dos vectores apuntan en la misma dirección, suma sus tamaños: 3 m al este + 4 m al este = 7 m al este. Cuando apuntan en direcciones opuestas, resta el tamaño menor del mayor, y la resultante apunta en la dirección del vector mayor: 6 m al este + 2 m al oeste = 4 m al este. Así se halla la fuerza neta cuando dos fuerzas jalan en sentidos contrarios.

Vectores perpendiculares

• A 90° uno del otro: un triángulo rectángulo
• La resultante es la hipotenusa
• Usa el teorema de Pitágoras

Cuando dos vectores son perpendiculares (a 90° uno del otro), al colocarlos de punta a cola forman un triángulo rectángulo, y la resultante es la hipotenusa. Usa el teorema de Pitágoras para hallar su tamaño: R = √(A² + B²). Para 3.0 m al este y 4.0 m al norte, R = √(9.0 + 16) = 5.0 m, no 7.0 m. La dirección de la resultante se halla con la tangente inversa: tan⁻¹(4.0 ÷ 3.0) ≈ 53° al norte del este.

Cómo descomponer un vector en partes

• Parte horizontal: R cos θ
• Parte vertical: R sen θ
• θ se mide desde la horizontal

Cualquier vector se puede dividir en dos componentes perpendiculares: una parte horizontal R_x y una parte vertical R_y. El vector es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman, así que cuando el ángulo θ se mide desde la horizontal, R_x = R cos θ y R_y = R sen θ. Por ejemplo, 10 m a 30° tiene R_x = 10 cos 30° = 8.7 m y R_y = 10 sen 30° = 5.0 m. Si el ángulo se mide desde la vertical, el seno y el coseno cambian de lugar.

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Ejemplos resueltos

Intenta resolver cada problema por tu cuenta primero y luego abre la solución para comprobar tu trabajo.

Ejemplo 1: Un juego de jalar la cuerda

En un juego de jalar la cuerda, un equipo jala la cuerda hacia el oeste con 380 N. El otro equipo jala hacia el este con 425 N. ¿Cuál es la fuerza neta sobre la cuerda?

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1. Revisa las direcciones: 380 N al oeste y 425 N al este apuntan en direcciones opuestas
2. Resta: 425 N − 380 N = 45 N
3. Dirección: la fuerza mayor apunta al este
4. Respuesta: 45 N al este

Ejemplo 2: Camino a la escuela

Un estudiante camina 1.5 km al este y luego 0.80 km al norte. ¿Cuál es el tamaño del desplazamiento del estudiante desde su casa?

Mostrar la solución

1. Revisa las direcciones: este y norte son perpendiculares, así que usa el teorema de Pitágoras
2. Plantea: R = √((1.5 km)² + (0.80 km)²)
3. Eleva al cuadrado y suma: 2.25 km² + 0.64 km² = 2.89 km²
4. Raíz cuadrada: R = √(2.89 km²) = 1.7 km
5. Comprueba: es mayor que 1.5 km y menor que 1.5 km + 0.80 km = 2.3 km
6. Respuesta: 1.7 km (unos 28° al norte del este)

Ejemplo 3: Un balón de fútbol pateado

Un balón de fútbol se patea a 22 m/s con un ángulo de 40° sobre el suelo. Halla las componentes horizontal y vertical de su velocidad.

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1. Identifica: v = 22 m/s con θ = 40° sobre la horizontal
2. Componente horizontal: v_x = (22 m/s)(cos 40°) = 16.85 m/s
3. Componente vertical: v_y = (22 m/s)(sen 40°) = 14.14 m/s
4. Comprueba: ambas son menores que 22 m/s, y v_x > v_y porque 40° es menor que 45°
5. Respuesta: v_x = 17 m/s, v_y = 14 m/s

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Diapositivas de la lección

• Diapositivas de vectores (PDF, en inglés)

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Ideas clave

• Los vectores tienen tamaño y dirección
• Suma los vectores de punta a cola
• Perpendiculares: teorema de Pitágoras
• Componentes: R cos θ y R sen θ

De vuelta a la pregunta esencial: las cantidades con dirección se combinan como vectores, colocándolos de punta a cola y dibujando la resultante del inicio al final. Los vectores de la misma dirección se suman, los opuestos se restan y los perpendiculares se combinan con el teorema de Pitágoras, mientras que las componentes (R cos θ y R sen θ) te permiten dividir un vector otra vez en partes horizontal y vertical.

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