En esta lección
- Video de la lección (próximamente)
- Apuntes de la lección
- Ejemplos resueltos
- Ideas clave
Llévatelo
- Diapositivas de la lección (PDF, en inglés)
- Problemas de práctica
Pregunta esencial
¿Cómo puede ayudarnos un triángulo rectángulo a hallar longitudes y ángulos?
Las rampas, las escaleras y las colinas forman triángulos rectángulos, y la trigonometría conecta los ángulos de esos triángulos con las longitudes de sus lados. Al terminar esta lección, deberías poder usar seno, coseno y tangente para hallar un lado que falta, y usar las funciones trigonométricas inversas para hallar un ángulo que falta.
El video de la lección estará disponible próximamente. Mientras tanto, lee la lección que aparece abajo.
Partes de un triángulo rectángulo
- Hipotenusa: el lado más largo, frente a los 90°
- Opuesto: frente al ángulo
- Adyacente: junto al ángulo
La trigonometría trabaja con triángulos rectángulos, que tienen un ángulo de 90°. La hipotenusa es el lado frente al ángulo recto y siempre es el lado más largo. Una vez que eliges el ángulo con el que vas a trabajar, llamado θ (theta), el lado que está frente a él es el lado opuesto y el lado que lo toca (y que no es la hipotenusa) es el lado adyacente.
Los nombres dependen del ángulo
- Primero ubica siempre el ángulo θ
- Si cambias de ángulo, opuesto y adyacente se intercambian
- La hipotenusa nunca cambia
Las palabras opuesto y adyacente dependen del ángulo que uses. En el mismo triángulo, el lado vertical es opuesto al ángulo de abajo, pero adyacente al ángulo de arriba. La hipotenusa es el único lado que nunca cambia. Marca siempre primero tu ángulo θ y luego nombra los otros dos lados.
SOH CAH TOA
- Seno: opuesto sobre hipotenusa
- Coseno: adyacente sobre hipotenusa
- Tangente: opuesto sobre adyacente
Las tres razones trigonométricas comparan dos lados de un triángulo rectángulo: sen θ = opuesto ÷ hipotenusa, cos θ = adyacente ÷ hipotenusa y tan θ = opuesto ÷ adyacente. La regla mnemotécnica SOH CAH TOA (en inglés: Sine-Opposite-Hypotenuse, Cosine-Adjacent-Hypotenuse, Tangent-Opposite-Adjacent) guarda las tres. Para un ángulo dado, estas razones son las mismas sin importar qué tan grande sea el triángulo, y por eso tu calculadora puede guardarlas en las teclas SIN, COS y TAN.
Cómo hallar un lado
- Nombra el lado que tienes y el que quieres
- Elige la razón que usa ambos
- Despeja el lado desconocido
Para hallar un lado que falta, nombra el lado que conoces y el lado que quieres, y luego elige la razón de SOH CAH TOA que use esos dos lados. Con una hipotenusa de 10.0 m y un ángulo de 35°, el lado opuesto sale del seno: sen 35° = opuesto ÷ 10.0 m, así que opuesto = (10.0 m)(sen 35°) = 5.74 m. Un cateto siempre debe resultar más corto que la hipotenusa.
Cómo hallar un ángulo
- Conoces dos lados y quieres el ángulo
- Deshaz la razón con una función trigonométrica inversa
- Presiona 2nd y luego la tecla trigonométrica
Cuando conoces dos lados y necesitas un ángulo, plantea la razón y luego deshazla con una función trigonométrica inversa: sen−1, cos−1 o tan−1. Normalmente son la segunda función de las teclas SIN, COS y TAN. Con un lado opuesto de 3.0 m y un lado adyacente de 4.0 m, tan θ = 0.75, así que θ = tan−1(0.75) ≈ 37°. El −1 significa deshacer la función, no uno entre ella.
Revisa el modo de grados
- Las calculadoras pueden usar grados o radianes
- Nosotros medimos los ángulos en grados
- Prueba: sen(30) debe dar 0.5
Las calculadoras pueden medir los ángulos en grados o en radianes, y la misma entrada da respuestas muy distintas. En este curso usamos grados. Una prueba rápida: sen(30) debe ser igual a 0.5. Si tu calculadora muestra −0.988, está en modo de radianes, así que cambia el ajuste (en una TI-84, presiona MODE y elige DEGREE, que significa grados) antes de resolver cualquier problema.
Ejemplos resueltos
Intenta resolver cada problema por tu cuenta primero y luego abre la solución para comprobar tu trabajo.
Ejemplo 1: Una caja en una rampa
Una caja se desliza hacia arriba por una rampa de 4.0 m de largo inclinada 25° sobre el suelo. ¿Qué altura alcanza la caja al llegar a la parte de arriba?
Mostrar la solución
- Nombra los lados: hipotenusa = 4.0 m, opuesto = h, θ = 25°
- Elige la razón: opuesto e hipotenusa: SOH, sen θ = opuesto ÷ hipotenusa
- Sustituye: sen 25° = h ÷ 4.0 m
- Despeja: h = (4.0 m)(sen 25°) = (4.0 m)(0.4226) = 1.690 m
- Respuesta: h = 1.7 m
Ejemplo 2: Una escalera contra la pared
Una escalera de 6.0 m está recargada contra una pared. Su base está a 1.5 m de la pared. ¿Qué ángulo forma la escalera con el suelo?
Mostrar la solución
- Nombra los lados: hipotenusa = 6.0 m, adyacente = 1.5 m, θ = ?
- Elige la razón: adyacente e hipotenusa: CAH, cos θ = adyacente ÷ hipotenusa
- Sustituye: cos θ = 1.5 m ÷ 6.0 m = 0.25
- Usa el coseno inverso: θ = cos−1(0.25) = 75.52°
- Respuesta: θ = 76°
Ejemplo 3: Rampa para silla de ruedas
Una rampa para silla de ruedas debe subir 0.75 m para llegar a una puerta. La rampa forma un ángulo de 4.8° con el suelo. ¿A qué distancia horizontal de la puerta empieza la rampa?
Mostrar la solución
- Nombra los lados: opuesto = 0.75 m, adyacente = ?, θ = 4.8°
- Elige la razón: opuesto y adyacente: TOA, tan θ = opuesto ÷ adyacente
- Sustituye: tan 4.8° = 0.75 m ÷ adyacente
- Despeja: adyacente = 0.75 m ÷ tan 4.8° = 0.75 m ÷ 0.08397 = 8.93 m
- Respuesta: 8.9 m
Problemas de práctica
Elige una respuesta. Si no es correcta, lee la pista e inténtalo de nuevo. Puedes omitir cualquier pregunta.
Pregunta 1 de 5
En un triángulo rectángulo, ¿cuál lado es la hipotenusa?
AEl lado frente al ángulo θ
No exactamente. Eso describe el lado opuesto, que cambia según el ángulo que elijas. La hipotenusa nunca cambia.
BEl lado entre θ y el ángulo recto
No exactamente. Eso describe el lado adyacente, que depende de θ. La hipotenusa se encuentra solo a partir del ángulo recto.
CEl lado frente al ángulo recto
¡Correcto! La hipotenusa está frente al ángulo de 90° y siempre es el lado más largo.
DEl lado más corto del triángulo
No exactamente. En realidad, la hipotenusa es el lado más largo. Busca el lado que está frente al ángulo de 90°.
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Omitir esta pregunta
Pregunta 2 de 5
Un triángulo rectángulo tiene el ángulo θ abajo a la izquierda y el ángulo recto abajo a la derecha. Sus lados miden: el vertical 5.0 cm, el de abajo 12.0 cm y el inclinado 13.0 cm. ¿Cuánto es tan θ?
A0.42
¡Correcto! La tangente es opuesto ÷ adyacente: el lado vertical está frente a θ, así que tan θ = 5.0 ÷ 12.0 = 0.42.
B2.4
No exactamente. Esta razón está al revés. TOA pone arriba el lado frente a θ y abajo el lado adyacente, junto a θ.
C0.38
No exactamente. Esto es opuesto ÷ hipotenusa, que es el seno. La tangente no usa el lado inclinado.
D0.92
No exactamente. Esto es adyacente ÷ hipotenusa, que es el coseno. La tangente compara los dos lados que no son la hipotenusa.
Siguiente pregunta
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Pregunta 3 de 5
Un triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de 8.0 m y un ángulo θ = 52°. ¿Cuánto mide el lado adyacente a θ?
A6.3 m
No exactamente. Aquí se usó el seno, que da el lado opuesto. Para el lado que toca a θ, elige la razón que usa adyacente e hipotenusa.
B13 m
No exactamente. Un cateto nunca puede ser más largo que la hipotenusa. Revisa tu álgebra: la hipotenusa se debe multiplicar, no dividir.
C−1.3 m
No exactamente. Una longitud negativa es señal de que la calculadora está en modo de radianes. Cámbiala a modo de grados e inténtalo de nuevo.
D4.9 m
¡Correcto! Adyacente e hipotenusa significa CAH: adyacente = (8.0 m)(cos 52°) = 4.9 m.
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Pregunta 4 de 5
En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo θ mide 3.5 m y la hipotenusa mide 9.0 m. ¿Cuánto vale θ?
A67°
No exactamente. El coseno inverso encuentra el otro ángulo. Conoces el lado opuesto y la hipotenusa, así que elige la razón correspondiente de SOH CAH TOA.
B23°
¡Correcto! Opuesto e hipotenusa significa SOH: sen θ = 3.5 ÷ 9.0 = 0.389, así que θ = sen−1(0.389) = 23°.
C21°
No exactamente. La tangente usa opuesto y adyacente, pero 9.0 m es la hipotenusa. Elige la razón que usa el lado opuesto y la hipotenusa.
D0.40°
No exactamente. Esta respuesta está en radianes. Pon la calculadora en modo de grados antes de usar las funciones trigonométricas inversas.
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Pregunta 5 de 5
En un laboratorio de física, un estudiante está parado en terreno plano a 45 m de la base de un árbol. Desde ahí, el ángulo hacia la copa del árbol es de 32°. ¿Qué altura tiene el árbol?
A24 m
No exactamente. El seno necesita la hipotenusa, pero los 45 m van por el suelo, junto al ángulo. Elige la razón que usa los lados opuesto y adyacente.
B72 m
No exactamente. El planteamiento es casi correcto, pero el álgebra está al revés. Como tan 32° = altura ÷ 45 m, multiplica ambos lados por 45 m.
C28 m
¡Correcto! La altura es el lado opuesto y los 45 m son el lado adyacente, así que TOA: altura = (45 m)(tan 32°) = 28 m.
D38 m
No exactamente. El coseno usa el lado adyacente y la hipotenusa. Tú conoces el lado adyacente y quieres el lado opuesto.
Terminar
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¡Buen trabajo! Llegaste al final de los problemas de práctica.
Recarga la página para intentarlos de nuevo, incluidas las preguntas que omitiste.
Diapositivas de la lección
Ideas clave
- Ubica primero θ y luego nombra los lados
- SOH CAH TOA te ayuda a elegir la razón
- Las funciones trigonométricas inversas hallan un ángulo
- Revisa siempre el modo de grados
De vuelta a la pregunta esencial: el seno, el coseno y la tangente conectan un ángulo de un triángulo rectángulo con la razón de dos de sus lados. Si conoces un ángulo y un lado, puedes hallar otro lado, y si conoces dos lados, puedes hallar el ángulo con las funciones trigonométricas inversas.