En esta lección
- Video de la lección (próximamente)
- Apuntes de la lección
- Ejemplos resueltos
- Ideas clave
Llévatelo
- Diapositivas de la lección (PDF, en inglés)
- Problemas de práctica
Pregunta esencial
¿Cómo puede una gráfica o una tabla mostrar la relación entre dos variables?
Muchas leyes de la ciencia describen cómo cambia una variable cuando cambia otra. Al terminar esta lección, deberías poder decidir, a partir de una gráfica o una tabla de datos, si una relación es directa, inversa o de otro tipo, y usar ese patrón para hacer predicciones.
El video de la lección estará disponible próximamente. Mientras tanto, lee la lección que aparece abajo.
Relaciones directas
- Una línea recta que pasa por el origen
- Si x se duplica, y también se duplica
- Ejemplo: masa contra volumen
En una relación directa, las dos variables cambian por el mismo factor: si x se duplica, y se duplica, y si x se triplica, y se triplica. La gráfica es una línea recta que pasa por el origen. Para el aluminio, 10 cm3 tienen una masa de 27 g y 20 cm3 tienen una masa de 54 g, así que al duplicar el volumen se duplica la masa.
Relación directa: la prueba de la razón
- Divide y entre x en cada fila
- Si siempre da lo mismo: es directa
- La razón es la constante
Para probar si una tabla muestra una relación directa, divide y entre x en cada fila. Si la razón es la misma todas las veces, la relación es directa, y esa razón es la constante que une las variables. Para el aluminio, 27 g ÷ 10 cm3, 54 g ÷ 20 cm3 y 81 g ÷ 30 cm3 dan todas 2.7 g/cm3, que es su densidad.
Relaciones inversas
- Una curva que baja y luego se aplana
- Si x se duplica, y se reduce a la mitad
- Ejemplo: ley de Boyle, P contra V
En una relación inversa, una variable sube mientras la otra baja por el mismo factor: si x se duplica, y se reduce a la mitad. La gráfica es una curva que baja bruscamente, luego se aplana y nunca toca ninguno de los ejes. La ley de Boyle es un ejemplo: para un gas a temperatura constante, aumentar el volumen de 2 L a 4 L hace que la presión baje de 200 kPa a 100 kPa.
Relación inversa: la prueba del producto
- Multiplica x por y en cada fila
- Si siempre da lo mismo: es inversa
- El producto es la constante
Para probar si una tabla muestra una relación inversa, multiplica x por y en cada fila. Si el producto es el mismo todas las veces, la relación es inversa. Para la ley de Boyle, 2 L × 200 kPa, 4 L × 100 kPa y 8 L × 50 kPa dan todas 400 kPa·L, así que PV = constante. Recuerda: en las relaciones directas la razón se mantiene constante, y en las relaciones inversas el producto se mantiene constante.
Otras relaciones
- Línea recta que no pasa por el origen: lineal
- Curva que sube: casi siempre es cuadrática
Una línea recta que no pasa por el origen es lineal pero no directa. La masa total de un vaso con agua empieza en 50 g (el vaso vacío), así que al duplicar el agua de 50 mL a 100 mL la masa total cambia de 100 g a 150 g, no al doble. Una curva que se dobla hacia arriba suele ser una relación cuadrática: cuando x se duplica, y se multiplica por 4. La energía cinética de un carrito en movimiento depende del cuadrado de su rapidez.
Ejemplos resueltos
Intenta resolver cada problema por tu cuenta primero y luego abre la solución para comprobar tu trabajo.
Ejemplo 1: Calentar un gas
Un gas se calienta en una jeringa sellada que puede expandirse. ¿La relación entre la temperatura y el volumen es directa o inversa? Halla la constante.
Mostrar la solución
- Duplica x: 200 K → 400 K se duplica, y 1.0 L → 2.0 L también se duplica
- Prueba de la razón: 1.0 L ÷ 200 K = 0.0050 L/K
- Revisa cada fila: 1.5 L ÷ 300 K = 0.0050 L/K y 2.0 L ÷ 400 K = 0.0050 L/K
- Respuesta: Relación directa; V/T = 0.0050 L/K
Ejemplo 2: Comprimir un gas
Una muestra de gas se mantiene a temperatura constante. Decide qué tipo de relación es y luego predice el volumen a 150 kPa.
Mostrar la solución
- Duplica x: 50 kPa → 100 kPa se duplica, y 6.0 L → 3.0 L se reduce a la mitad
- Prueba del producto: 50 kPa × 6.0 L = 100 kPa × 3.0 L = 200 kPa × 1.5 L = 300 kPa·L, así que la relación es inversa
- Plantea la predicción: 150 kPa × V = 300 kPa·L
- Resuelve: V = 300 kPa·L ÷ 150 kPa
- Respuesta: Relación inversa; V = 2.0 L
Ejemplo 3: Una pelota que cae
Se suelta una pelota desde el reposo. La relación entre el tiempo y la distancia que cae, ¿es directa, inversa o de otro tipo?
Mostrar la solución
- Prueba de la razón: 4.9 ÷ 1.0 = 4.9 pero 19.6 ÷ 2.0 = 9.8, así que no es directa
- Prueba del producto: 1.0 × 4.9 = 4.9 pero 2.0 × 19.6 = 39.2, así que no es inversa
- Duplica y triplica x: al duplicar el tiempo: 19.6 ÷ 4.9 = 4; al triplicarlo: 44.1 ÷ 4.9 = 9
- Busca el patrón: 4 = 22 y 9 = 32
- Respuesta: Ninguna de las dos: es una relación cuadrática (la distancia depende del cuadrado del tiempo)
Problemas de práctica
Elige una respuesta. Si no es correcta, lee la pista e inténtalo de nuevo. Puedes omitir cualquier pregunta.
Pregunta 1 de 5
¿Qué forma de gráfica muestra una relación directa entre x y y?
AUna línea recta que pasa por el origen
¡Correcto! En una relación directa y cambia por el mismo factor que x, así que la gráfica es una línea recta que empieza en (0, 0).
BUna línea recta que cruza el eje y arriba de 0
No exactamente. Esta es lineal, pero no empieza en el origen, así que al duplicar x, y no se duplica. Una gráfica directa debe pasar por (0, 0).
CUna curva que baja bruscamente y luego se aplana
No exactamente. Esta es la forma de una relación inversa, donde y baja cuando x sube.
DUna curva que se dobla hacia arriba
No exactamente. Una curva hacia arriba suele ser una relación cuadrática, donde al duplicar x, y se multiplica por 4. Una gráfica directa es recta.
Siguiente pregunta
Omitir esta pregunta
Pregunta 2 de 5
Dos variables están relacionadas de forma inversa. Si x se triplica, ¿qué le pasa a y?
Ay se triplica
No exactamente. Eso es lo que pasa en una relación directa. En una relación inversa, y baja cuando x sube.
By disminuye en 3
No exactamente. Las relaciones inversas cambian por un factor, no por una resta. Piensa en cómo el producto x × y puede mantenerse constante.
Cy se multiplica por 9
No exactamente. Multiplicar por 9 cuando x se triplica es una relación cuadrática. En una relación inversa, y se hace más pequeña.
Dy se reduce a la tercera parte
¡Correcto! Como x × y se mantiene constante, si x se triplica, y debe dividirse entre 3.
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Pregunta 3 de 5
Una tabla de datos da estos pares (x, y): (2, 30), (4, 15), (6, 10). ¿Cuál describe la relación?
ADirecta, con y ÷ x = 15
No exactamente. 30 ÷ 2 = 15, pero 15 ÷ 4 y 10 ÷ 6 dan razones distintas. Revisa todas las filas antes de decidir.
BInversa, con x × y = 60
¡Correcto! Todas las filas dan el mismo producto: 2 × 30 = 4 × 15 = 6 × 10 = 60, así que la relación es inversa.
CCuadrática, porque al duplicar x, y se multiplica por 4
No exactamente. Cuando x se duplica de 2 a 4, y pasa de 30 a 15. Se reduce a la mitad, no se multiplica por 4.
DLineal, porque y baja 15 en cada paso
No exactamente. y baja 15 y luego solo 5, así que el cambio no es constante. Prueba multiplicar x por y en cada fila.
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Pregunta 4 de 5
Para un líquido, la masa es directamente proporcional al volumen. Una muestra de 25.0 mL tiene una masa de 20.0 g. ¿Cuál es la masa de 75.0 mL?
A6.67 g
No exactamente. Esto supone que el producto se mantiene constante, que es la prueba de las relaciones inversas. En una relación directa, más volumen significa más masa.
B70.0 g
No exactamente. Esto le suma 50 a la masa porque el volumen aumentó 50 mL. Las relaciones directas cambian por el mismo factor, no por la misma cantidad.
C60.0 g
¡Correcto! La razón es 20.0 g ÷ 25.0 mL = 0.800 g/mL, y 75.0 mL × 0.800 g/mL = 60.0 g. Al triplicar el volumen se triplica la masa.
D93.8 g
No exactamente. Esto divide el volumen entre la razón, lo que invierte las unidades. Multiplica el volumen por 0.800 g/mL para que los mL se cancelen.
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Pregunta 5 de 5
La energía cinética de un carrito depende del cuadrado de su rapidez. A 2.0 m/s tiene 5.0 J de energía cinética. ¿Cuánta tiene a 6.0 m/s?
A15 J
No exactamente. Esto trata la relación como directa. Cuando la energía depende del cuadrado de la rapidez, al triplicar la rapidez la energía se multiplica por 32.
B1.7 J
No exactamente. Esto trata la relación como inversa. Un carrito más rápido tiene más energía cinética, no menos.
C20 J
No exactamente. Multiplicar por 4 funciona cuando x se duplica. Aquí la rapidez se triplica, de 2.0 m/s a 6.0 m/s.
D45 J
¡Correcto! La rapidez se triplica, así que la energía se multiplica por 32 = 9: 5.0 J × 9 = 45 J.
Terminar
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Diapositivas de la lección
Ideas clave
- Directa: y ÷ x se mantiene constante
- Inversa: x × y se mantiene constante
- Cuadrática: si x se duplica, y × 4
- Pruébalo duplicando x
De vuelta a la pregunta esencial: la forma de una gráfica y el patrón de una tabla muestran la relación. Una línea recta que pasa por el origen con una razón constante y/x es directa, una curva descendente con un producto constante xy es inversa, y duplicar x te dice rápidamente cuál tienes, o si es algo distinto, como una relación cuadrática.