9.5 Energía libre y equilibrio

Pregunta esencial

¿Cómo se relaciona ΔG° con la constante de equilibrio?

En los Temas 9.3 y 9.4 usamos ΔG° para decidir si una reacción está favorecida termodinámicamente, y en la Unidad 7 usamos K para describir dónde queda un equilibrio. En esta lección verás que son dos maneras de contar la misma historia.

Los productos en el equilibrio

• ΔG° < 0: favorecido termodinámicamente, productos favorecidos en el equilibrio, K > 1
• ΔG° > 0: no favorecido termodinámicamente, reactivos favorecidos en el equilibrio, K < 1

Quizá veas la palabra más antigua “espontáneo” en otros libros, pero en el examen de AP decimos favorecido termodinámicamente. Fíjate en que, aun cuando ΔG° es positivo, la mezcla en equilibrio no tiene cero producto. Algo de B sí se forma. Solo que no gana.

Relación entre ΔG° y K

ΔG° = −RT ln K

K = e^−ΔG°/RT

• R = 8.314 J/(mol·K)
• T = temperatura en kelvin (suma 273 a una temperatura en grados Celsius)

Usa la primera ecuación cuando conoces K y quieres ΔG°. Está en la hoja de ecuaciones de AP. La segunda ecuación es la misma relación despejada para K, así que úsala cuando conoces ΔG° y quieres K. En tu calculadora, es la tecla e^x.

Atención a las unidades

• R usa joules, así que ΔG° debe estar en J/mol
• kJ × 1000 = J, así que −15.0 kJ/mol se convierte en −15,000 J/mol

Las tablas de ΔG° suelen estar en kilojoules. Si sustituyes kilojoules en una ecuación que usa joules, tu respuesta saldrá mal por muchísimo, porque el número va en un exponente. Si despejas ΔG°, tu respuesta sale en J/mol, así que divide entre 1000 al final si la quieres en kJ/mol.

Consejo para el examen: olvidar convertir kJ a J es el error número uno en estos problemas. Convierte primero, siempre.

El signo de ΔG° y el tamaño de K

ΔG°	ln K	K	En el equilibrio
< 0	+	> 1	productos favorecidos
0	0	1	ninguno favorecido
> 0	−	< 1	reactivos favorecidos

En ΔG° = −RT ln K, tanto R como T son siempre positivos, así que ln K siempre tiene el signo contrario al de ΔG°. El logaritmo natural de un número es positivo solo cuando el número es mayor que 1, ln 1 = 0, y el logaritmo natural de un número entre 0 y 1 es negativo.

Estimación de K a partir de ΔG°

• ΔG° muy negativo: K muy por encima de 1, la reacción llega casi hasta el final
• ΔG° ≈ 0: K ≈ 1, hay cantidades importantes de reactivos y de productos
• ΔG° muy positivo: K muy por debajo de 1, casi no se forma producto

¿Cómo sabes si ΔG° cuenta como cercano a cero? Compáralo con RT. A 298 K, RT ≈ 2.5 kJ/mol, así que esa es tu regla. Cuando ΔG° (positivo o negativo) es mucho mayor que RT, como decenas o cientos de kJ/mol, K está lejos de 1.

Consejo para el examen: al examen de AP le encanta pedirte que estimes K sin calculadora. Compara |ΔG°| con RT y usa el signo de ΔG° para decidir de qué lado de 1 está K.

El gran efecto de un ΔG° pequeño

ΔG° (kJ/mol)	K a 298 K
−40	1.0 × 107
−20	3.2 × 103
−10	57
0	1
+10	0.018
+20	3.1 × 10−4
+40	9.7 × 10−8

Un cambio de solo 10 kJ/mol lleva a K de 1 a 57, y a −40 kJ/mol K vale diez millones. Como ΔG° está en un exponente, un cambio pequeño en ΔG° produce un cambio enorme en K.

Consejo para el examen: a 298 K, cada 5.7 kJ/mol de ΔG° cambian K por un factor de 10. Así que si ΔG° es de unos −57 kJ/mol, K es de unos 10¹⁰.

La temperatura como conexión

• Paso 1: usa ΔH°, ΔS° y T para encontrar ΔG° = ΔH° − TΔS° (Tema 9.3)
• Paso 2: usa ese ΔG° para encontrar K = e^−ΔG°/RT a la misma temperatura

La temperatura aparece en las dos ecuaciones. Un valor de K solo corresponde a la temperatura a la que se midió, así que K a 298 K no es igual que K a 500 K. Si cambias T, cambia ΔG° y, por lo tanto, también cambia K.

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Ejemplos resueltos

Primero intenta resolver cada problema por tu cuenta y luego abre la solución para revisar tu trabajo.

Ejemplo 1: Cálculo de K a partir de ΔG°

Para la reacción de abajo, ΔG° = −32.9 kJ/mol_rxn a 298 K. Calcula el valor de K.

N₂(g) + 3H₂(g) → 2NH₃(g)

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1. Ecuación: conocemos ΔG° y queremos K, así que usa K = e^−ΔG°/RT. (Este ΔG° viene de una tabla de datos, por eso difiere un poco de los −33.0 kJ/mol calculados en el Tema 9.3. Es solo redondeo en los datos.)
2. Convierte a joules: ΔG° = −32.9 kJ/mol × 1000 = −32,900 J/mol
3. Sustituye: exponente = −(−32,900 J/mol) / [(8.314 J/(mol·K))(298 K)]. Los dos signos negativos se cancelan, así que el exponente es positivo, y las unidades se cancelan, así que el exponente no tiene unidades.
4. Divide: RT = 2477.6, así que el exponente = 32,900 / 2477.6 = 13.28
5. Calcula e^x: K = e^13.28 = 5.8 × 10⁵. El exponente tiene dos lugares decimales, así que K lleva dos cifras significativas. Los exponentes magnifican el redondeo, así que no redondees el exponente demasiado pronto.
6. Respuesta: K = 5.8 × 10⁵. Tiene sentido: ΔG° es negativo, así que K > 1 y los productos están favorecidos en el equilibrio.

Ejemplo 2: Cálculo de ΔG° a partir de K

A 298 K, la K_a del ácido acético es 1.8 × 10⁻⁵. Calcula ΔG° para esta reacción.

HC₂H₃O₂(aq) + H₂O(l) → C₂H₃O₂⁻(aq) + H₃O⁺(aq)

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1. Ecuación: conocemos K y queremos ΔG°, así que usa ΔG° = −RT ln K. Aquí sirve cualquier K, incluida K_a.
2. Calcula primero el logaritmo natural: ln(1.8 × 10⁻⁵) = −10.93. Es negativo porque K < 1.
3. Sustituye: ΔG° = −(8.314 J/(mol·K))(298 K)(−10.93). Un negativo por un negativo da un positivo.
4. Multiplica y convierte: ΔG° = +27,070 J/mol = +27 kJ/mol. K tenía dos cifras significativas, así que reporta dos.
5. Respuesta: ΔG° = +27 kJ/mol_rxn. Esto coincide con lo que sabemos de los ácidos débiles: casi siempre se quedan como moléculas, así que los reactivos están favorecidos, K < 1 y ΔG° es positivo.

Ejemplo 3: De ΔH° y ΔS° a K

Usa los datos para calcular K de esta reacción a 298 K: 2NO₂(g) → N₂O₄(g). ΔH° = −57.2 kJ/mol, ΔS° = −175.9 J/(mol·K), T = 298 K.

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1. Iguala las unidades: ΔH° está en kJ y ΔS° está en J, así que convierte: ΔS° = −175.9 J/(mol·K) ÷ 1000 = −0.1759 kJ/(mol·K)
2. Encuentra ΔG°: ΔG° = ΔH° − TΔS° = −57.2 kJ/mol − (298 K)(−0.1759 kJ/(mol·K))
3. Simplifica: 298 × 0.1759 = 52.4, así que ΔG° = −57.2 + 52.4 = −4.8 kJ/mol (en las décimas, para coincidir con ΔH°). En joules, ΔG° = −4,800 J/mol.
4. Encuentra el exponente: K = e^{−(−4,800)/((8.314)(298))}, y 4,800 / 2477.6 = 1.937, así que K = e^1.937
5. Respuesta: K = 6.9. ΔG° estaba cerca de cero (solo un par de RT), así que K está cerca de 1. Es un poco mayor que 1, así que los productos están ligeramente favorecidos, pero en el equilibrio hay cantidades importantes de los dos gases.

Ejemplo 4: ¿K es grande o pequeña?

A 298 K, ΔG° = +173.2 kJ/mol_rxn para la reacción N₂(g) + O₂(g) → 2NO(g). Sin calcular, ¿K es mayor o menor que 1? ¿Está cerca de 1? Justifica tu respuesta.

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1. Revisa el signo: ΔG° > 0, así que la reacción no está favorecida termodinámicamente. ln K es negativo, así que K < 1 y los reactivos están favorecidos.
2. Compara con RT: a 298 K, RT ≈ 2.5 kJ/mol. 173.2 kJ/mol es unas 70 veces mayor, así que ΔG° no está nada cerca de cero.
3. Respuesta: K ≪ 1 (mucho menor que 1, no cerca de 1). Con la regla de 5.7 kJ/mol, K es unas 30 potencias de 10 menor que 1. Por eso el nitrógeno y el oxígeno del aire que respiras no se convierten en NO.

Ejemplo de justificación para el examen: K es mucho menor que 1 porque ΔG° es positivo, así que los reactivos están favorecidos. Como ΔG° (173.2 kJ/mol) es mucho mayor que RT (unos 2.5 kJ/mol), K está lejos de 1.

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Práctica

La hoja de práctica llegará pronto.

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Diapositivas de la lección

• Diapositivas de 9.5 Energía libre y equilibrio (PDF) (en inglés)

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Ideas clave

• ΔG° < 0 significa productos favorecidos, K > 1.
• ΔG° = −RT ln K, con ΔG° en J/mol.
• ΔG° cercano a 0 significa K cercana a 1.
• |ΔG°| mucho mayor que RT significa K lejos de 1.

De vuelta a la pregunta esencial: ΔG° nos dice qué lado está favorecido y por cuánto, y K nos dice lo mismo como una razón de productos a reactivos. A continuación, el Tema 9.6 usa estas ideas para explicar por qué algunas sales se disuelven con facilidad y otras casi no se disuelven.

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