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Gravitación universal

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Pregunta esencial

¿Con qué fuerza se jalan dos masas entre sí?

La Tierra te jala a ti, pero tú también jalas a la Tierra y a todos los demás objetos que te rodean. Al final de esta lección, deberías poder usar la ley de la gravitación universal de Newton, Fg = Gm1m2/d2, para despejar la fuerza, la masa o la distancia.

El video de la lección llegará pronto. Mientras tanto, lee la lección que aparece abajo.

La gravedad es universal

  • Dos masas cualesquiera se atraen
  • Cada una jala a la otra con la misma fuerza
  • Más masa, más fuerza
Una bola gris grande con la etiqueta m1 y una bola gris pequeña con la etiqueta m2. Flechas azules iguales con la etiqueta F sub g apuntan de cada bola hacia la otra. Leyenda: el mismo jalón sobre cada una.

Isaac Newton se dio cuenta de que la fuerza que jala una manzana hacia el suelo es la misma que mantiene a la Luna girando alrededor de la Tierra. De hecho, cada masa del universo atrae a todas las demás masas. El jalón tiene la misma magnitud sobre los dos objetos, incluso cuando uno es mucho más grande, porque las fuerzas son un par de la tercera ley de Newton. Más masa en cualquiera de los objetos significa un jalón mayor.

Ley de la gravitación de Newton

Fg = Gm1m2 / d2

  • Fg = fuerza gravitacional, en newtons (N)
  • G = constante de gravitación universal, 6.67 × 10−11 N·m2/kg2
  • m1, m2 = las dos masas, en kilogramos (kg)
  • d = distancia entre los centros de las masas, en metros (m)
La ecuación F sub g es igual a G m1 m2 entre d al cuadrado en un cuadro amarillo. Debajo, cuatro tarjetas: F sub g es la fuerza gravitacional en newtons, G es igual a 6.67 por 10 a la menos 11 newton metros cuadrados por kilogramo cuadrado, m1 y m2 son las masas en kilogramos y d es la distancia de centro a centro en metros.

Esta ecuación tiene la misma forma que la ley de Coulomb, con masas en lugar de cargas y G en lugar de k. La constante G es increíblemente pequeña, y por eso el jalón gravitacional entre los objetos de todos los días es demasiado débil para notarse.

De centro a centro

  • Mide d de centro a centro
  • Sobre un planeta: d = R + h
  • No de superficie a superficie
La Tierra dibujada como un círculo con un satélite a su derecha. Una línea del centro de la Tierra a su superficie tiene la etiqueta R, y la línea de la superficie al satélite tiene la etiqueta h. Una flecha doble debajo, del centro de la Tierra al satélite, tiene la etiqueta d es igual a R más h.

En la ecuación de la gravitación, d siempre es la distancia entre los centros de los dos objetos. Para algo que está sobre un planeta o por encima de él, eso significa el radio del planeta R más la altura h sobre la superficie. Un error común es usar solo la altura sobre el suelo, con lo que se dejan fuera miles de kilómetros.

Ley del inverso del cuadrado

  • Si duplicas d: ¼ de la fuerza
  • Si triplicas d: 1/9 de la fuerza
  • Más débil, pero nunca cero
Una gráfica del peso de un astronauta contra la distancia al centro de la Tierra, en radios terrestres. La curva baja rápidamente: 900 N a 1 R, 225 N a 2 R y 100 N a 3 R.

La gravedad sigue la misma ley del inverso del cuadrado que la fuerza eléctrica. Un astronauta que pesa 900 N en la superficie de la Tierra, a un radio terrestre del centro, sentiría solo 225 N al doble de esa distancia y 100 N al triple de esa distancia. El jalón sigue disminuyendo conforme te alejas, pero nunca llega a ser exactamente cero.

¿Por qué es tan débil la gravedad?

  • G es diminuta
  • Objetos cotidianos: jalón diminuto
  • Solo las masas enormes jalan con fuerza
Izquierda: dos personas paradas a 1 m de distancia con flechas diminutas entre ellas con la etiqueta 3 por 10 a la menos 7 N. Derecha: una persona parada sobre la Tierra con una flecha grande que apunta hacia abajo con la etiqueta unos 690 N.

Dos personas de 70 kg paradas a 1 m de distancia se jalan con una fuerza de aproximadamente 3 × 10−7 N, demasiado pequeña para sentirse. La misma persona parada sobre la Tierra siente unos 690 N, que es su peso. La diferencia es la masa: la Tierra tiene alrededor de 6 × 1024 kg. Como G es tan pequeña, la gravedad solo se vuelve una fuerza notable cuando al menos uno de los objetos es enorme.

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Ejemplos resueltos

Primero intenta resolver cada problema por tu cuenta y luego abre la solución para revisar tu trabajo.

Ejemplo 1: Dos buques de carga

Dos buques de carga, cada uno con una masa de 5.0 × 107 kg, están separados 2.0 × 102 m (de centro a centro). ¿Cuál es la fuerza gravitacional entre ellos?

Dos buques de carga uno junto al otro sobre el agua, cada uno con la etiqueta 5.0 por 10 a la 7 kilogramos, con una flecha doble entre sus centros con la etiqueta 2.0 por 10 a la 2 metros.
Mostrar la solución
  1. Datos: m1 = m2 = 5.0 × 107 kg, d = 2.0 × 102 m, G = 6.67 × 10−11 N·m2/kg2
  2. Ecuación: Fg = Gm1m2/d2
  3. Sustituye: Fg = (6.67 × 10−11)(5.0 × 107 kg)(5.0 × 107 kg) / (2.0 × 102 m)2
  4. Numerador: 6.67 × 5.0 × 5.0 = 166.75 y 10−11 × 107 × 107 = 103, así que el numerador es 1.6675 × 105
  5. Denominador: (2.0 × 102 m)2 = 4.0 × 104 m2
  6. Respuesta: Fg = 1.6675 × 105 ÷ 4.0 × 104 = 4.2 N

Dos barcos enormes se jalan entre sí con solo unos 4 N, más o menos el peso de una lata de sopa.

Ejemplo 2: La Tierra y la Luna

La Tierra tiene una masa de 5.97 × 1024 kg y la Luna tiene una masa de 7.35 × 1022 kg. Sus centros están separados 3.84 × 108 m. ¿Cuál es la fuerza gravitacional entre ellas?

La Tierra a la izquierda y la Luna, más pequeña, a la derecha, con una flecha doble entre sus centros con la etiqueta 3.84 por 10 a la 8 metros.
Mostrar la solución
  1. Datos: m1 = 5.97 × 1024 kg, m2 = 7.35 × 1022 kg, d = 3.84 × 108 m
  2. Ecuación: Fg = Gm1m2/d2
  3. Numerador: (6.67 × 10−11)(5.97 × 1024)(7.35 × 1022) = 2.927 × 1037
  4. Denominador: (3.84 × 108 m)2 = 1.475 × 1017 m2
  5. Respuesta: Fg = 2.927 × 1037 ÷ 1.475 × 1017 = 1.98 × 1020 N

Conserva los valores completos de la calculadora hasta el último paso. Si redondeas el numerador y el denominador demasiado pronto, el último dígito puede cambiar.

Ejemplo 3: Dos bolas de boliche

Dos bolas de boliche idénticas están separadas 0.50 m, de centro a centro. Se atraen entre sí con una fuerza de 1.5 × 10−8 N. ¿Cuál es la masa de cada bola?

Dos bolas de boliche negras idénticas con la etiqueta m, con una flecha doble entre sus centros con la etiqueta 0.50 m.
Mostrar la solución
  1. Datos: m1 = m2 = m, d = 0.50 m, Fg = 1.5 × 10−8 N, G = 6.67 × 10−11 N·m2/kg2
  2. Despeja: Fg = Gm2/d2, así que m2 = Fgd2/G
  3. Sustituye: m2 = (1.5 × 10−8 N)(0.50 m)2 / 6.67 × 10−11 = 3.75 × 10−9 / 6.67 × 10−11
  4. Simplifica: m2 = 56.2 kg2
  5. Respuesta: m = √(56.2 kg2) = 7.5 kg cada una

Ejemplo 4: Cálculo de la distancia

La Tierra (5.97 × 1024 kg) jala a un satélite de 1.00 × 103 kg con una fuerza de 2,450 N. ¿A qué distancia del centro de la Tierra está el satélite?

La Tierra a la izquierda y un satélite a la derecha. Una flecha roja del satélite apunta hacia la Tierra con la etiqueta 2,450 N, y una flecha doble del centro de la Tierra al satélite tiene la etiqueta d es igual a signo de interrogación.
Mostrar la solución
  1. Datos: m1 = 5.97 × 1024 kg, m2 = 1.00 × 103 kg, Fg = 2,450 N
  2. Despeja: d2 = Gm1m2/Fg
  3. Numerador: (6.67 × 10−11)(5.97 × 1024)(1.00 × 103) = 3.98 × 1017
  4. Divide: d2 = 3.98 × 1017 ÷ 2,450 = 1.63 × 1014 m2
  5. Respuesta: d = √(1.63 × 1014 m2) = 1.27 × 107 m del centro de la Tierra

Eso es casi el doble del radio de la Tierra (6.37 × 106 m), así que el satélite está aproximadamente a un radio terrestre sobre la superficie.

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Práctica

Usa la ley de la gravitación universal de Newton para explicar por qué la gravedad es débil, predecir cómo cambia la fuerza con la distancia y despejar la fuerza, la distancia o la masa. Primero inténtalo por tu cuenta y luego revisa tu trabajo con la clave de respuestas. Los PDF están en inglés.

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Diapositivas de la lección

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Ideas clave

  • Dos masas cualesquiera se atraen
  • Fg = Gm1m2/d2, G = 6.67 × 10−11 N·m2/kg2
  • d se mide de centro a centro
  • Inverso del cuadrado: 2× la distancia, ¼ de la fuerza

De vuelta a la pregunta esencial: dos masas cualesquiera se jalan entre sí con una fuerza dada por Fg = Gm1m2/d2, donde d se mide de centro a centro. La fuerza crece con cada masa y sigue una ley del inverso del cuadrado con la distancia. Como G es tan pequeña, el jalón solo es notable cuando al menos una masa es enorme, como un planeta. En la siguiente lección, los campos gravitacionales y las órbitas usan esta idea para explicar por qué la Luna y los satélites se mantienen en órbita.

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Alineación con NGSS

Esta lección avanza hacia las siguientes expectativas de desempeño de los Estándares de Ciencias de Nueva Generación (NGSS, por sus siglas en inglés):

  • HS-PS2-4: Usar representaciones matemáticas de la ley de la gravitación de Newton y de la ley de Coulomb para describir y predecir las fuerzas gravitacionales y electrostáticas entre objetos.

Ideas disciplinarias básicas: PS2.B Tipos de interacciones

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